自幼父母給我很好的科學學習環境，國小就特別喜歡挑戰數學難題。國中開始試作物理科展，很幸運能得到全國佳作。高一整年，都到清大物理系旁聽資優生研習營的課程，學到許多常識，更加強了物理基礎。此外，在高一時開始一項物理實驗，剛開始的實驗十分困難，直到高三才得以突破，並獲得第四十屆全國科展高中組物理科第一名。雖然實驗的過程十分辛苦，但是收穫真的很多。希望未來在大學和研究所學習中，能滿足我的求知慾，讓我悠遊於自然科學的領域中。

關鍵詞：磁力、磁力運動、刻普勒定律

一、研究動機

 最初是對星球運動的好奇，隨後不服輸的心理一直驅使著我。三年來在這兩種心情交互支持下，逐項突破主要困難問題，並持續進行探討與研究。

二、研究目的

  主要目的為設計特殊形式的磁鐵、夾具及實驗，以進行磁力的平面實驗，期對刻普勒定律作初步驗證與比對。次要目的為實驗驗證所選用的特殊磁鐵在某一範圍內之「磁力-距離的關係」與「萬有引力-距離的關係」具有近似相同的模式。

三、研究設備及儀器架設

關鍵器材：主星磁鐵 M、衛星磁鐵 m 、 主星磁鐵夾具及低壓實驗櫃。

主要器材：彈簧秤、直尺、鏡子、吸塵器、坐標板、磁力計、攝/錄放影機等。

四、研究過程

整個研究過程可分為：

(a)概念構想、(b)磁鐵設計與試製、(c)夾具設計與製作、 (d)儀器架設、(e)磁力量測、(f)磁力運動實驗、(g)雙星運動實驗及(h)實驗櫃中實驗等階段。摘要敘述如下：

(一)概念構想

萬有引力導致星球運動，例如人造衛星的運動。那麼能否設計、試製一組特殊磁鐵以磁力來作模擬實驗呢？本作品所提概念為：用兩個在圓周徑向磁場均勻的磁鐵，在水平面上作模擬實驗。主要方法及步驟如下：

1.將一磁鐵固定作為主星磁鐵 M，以模擬質量極大且近似不動的主星；

2.將另一個磁鐵以長線吊起作為衛星磁鐵m，以模擬衛星。其吊點位置在主星磁鐵的正上方，並調整線長，使兩個磁鐵在同一水平面上；

3.將m以初始速度自初始位置釋放，如此就可開始進行實驗了！

(二) 磁鐵選擇與製作

 有了上述構想，剩下來的問題最關鍵的當然是：要用什麼形式的磁鐵了！

1.基本構想：一極必須在圓周一圈，那麼另一極應該在那裡？

方法一

另一極可在無窮遠---可以滿足 M 的需求。

作法一　

作一根圓柱形長長的磁鐵，一個磁極在圓柱一端的圓周，另 一個磁極在圓柱另一端的圓形端面。

方法二

另一極可在圓的內圈---可以滿足m的需求。

作法二

作一個圓環形的柱狀磁鐵，一個磁極在圓環的外圈圓周，另一個磁極在圓環的內圈圓周。

2.磁鐵試製：

(1)磁鐵材料選用及歷程

經過三年辛苦、漫長及一再嘗試後，終於找到廠家贊助的 Nd-Fe-B 強力磁鐵，這才獲得突破。最後選用直徑12mm、高8mm 圓柱形磁鐵及未充磁材料。

(2)主星磁鐵 M 製作：

將15(30)個上述磁鐵串吸在一起，另作一個相同尺寸的軟鐵串吸在 S 極，便完成M製作。其示意圖如圖一。

圖一　主星磁鐵 M示意圖

(3)衛星磁鐵 m 製作:衛星磁鐵 m 的形狀應為一柱狀圓環。以未充磁材料切割成8個相同的扇形柱狀磁塊，以外圈為N 極充磁，於充磁後強行塞入一圓柱形外框內，再加一小吊桿，便完成 m 的製作，示意圖如圖二。

外框                       吊桿

圖二　衛星磁鐵 m示意圖

3.主星磁鐵 M 夾具製作(固定主星磁鐵 M、使用非導磁材料) ： 

製作概念示意圖如圖三。使用時將主星磁鐵放在兩個夾塊之間，轉動旋轉紐，即可使夾塊夾緊或鬆開。

固定夾 旋轉紐

圖三　主星磁鐵夾具製作概念示意圖

(四)儀具架設

1.磁力 距離量測儀具架設：

架設示意圖如圖四，摘要步驟如下：

(1)將主星磁鐵夾具立起、張開夾塊並在其上綁一枝竹筷，放在矮櫃上；其後放一面大鏡子；  

(2)將彈簧秤、配重塊(視需要) 及衛星磁鐵串在竹筷上，調整 m吊線長度；

(3)將M夾好平放在 m 正下方；並在 m 及 M 正後方鏡子上貼上直尺便完成架設。

圖四　磁力量測儀具架設示意圖

2.磁力運動實驗儀具架設：

儀具架設示意圖如圖五，摘要步驟如下： 

(1)將m以長線吊在天花板上並調整線長；

(2)以夾具將M夾妥，放在m吊點正下方；

(3)將坐標板（原點有圓孔）放在 M 夾具上， 使M自原點的圓孔突出坐標板之上；

(4)在天花板上m吊點旁固定攝影機鏡頭；

(5)放置木板a 、b以決定m起始位置及方向；

(6)接好攝、錄影機，便完成架設。

圖五　磁力運動實驗儀 具架設示意圖

(五)磁力量測（參考圖四）

按照圖四的架構及相關步驟架好儀具，以量取主星磁鐵與衛星磁鐵間磁力-距離的關係。衛星磁鐵計有四種:ma、ms、mr及mn；彈簧秤計有三種:s1、s2 及s3 。各衛星磁鐵的形狀及組成方式相同，其不同點為尺寸及材質：

ma：外圈半徑ro=5mm、內圈半徑ri=1.5mm、高h=8mm及鋁質外框

ms：使用鐵質外框其餘均同ma，且使用ma之扇形磁鐵。

mr：使用ma之扇形磁鐵並重新反向充磁，外框圓柱部份為鐵質其餘為鋁質；

mn：ro=2.5mm、ri=1.25mm、h=10mm及鋁質外框。

各彈簧秤的彈力係數分別為：k1 7g/cm、k2=25g/cm及k3 =83.3g/cm首先使用s1量測1g重及2g重磁力-距離的關係；再依序使用s2及s3以分量測10g重及20g重磁力-距離的關係。每次量測均先調開M與m的間距、轉動夾具的旋轉鈕使m徐徐下降，直到彈簧秤指示在需要的刻度；然後讀取M與m的距離。每次讀取均利用鏡中影子，以維持視線水平。

(六)磁力運動實驗（儀具架設參考圖五）

整個過程計有：(a)初期觀察實驗、(b)以 ma 作運動實驗及(c)以 ms 作運動實驗三個階段。依據觀察實驗的心得，將座標板方格調整為1cm x1cm並使用木板a、b來決定衛星磁鐵的釋放位置、起始位置及方向，這也間接決定了衛星磁鐵的起始速度。實驗操作方式為：(a)將木板a及b放在所要位置、(b)將衛星磁鐵放在靠近座標板外側由木板a及b所形成 的夾角裡、(c)迅速移走木板b則衛星磁鐵沿木板a自然滑下、(d)當衛星磁鐵滑離木板a 時迅速移走木板a。此時運動實驗已在進行了，直到衛星磁鐵吸到主星磁鐵既完成一次實驗。按照上述作法及程序分別以ma、ms及mn進行運動實驗，每次實驗均作錄影以便觀察及分析。

(七)雙星磁力運動實驗(參考實驗櫃示意圖)

按照圖五的方式在實驗櫃內架好儀具，並以兩根線吊起mr及mn作運動實驗。使用木板a、b及木板a 、b  來決定mr及mn的釋放位置、起始位置及起始方向和兩星磁鐵的起始速度。操作方式與前節相似。

(八)實驗櫃中磁力運動實驗(參考實驗櫃示意圖)

檢討上述實驗，發現導致誤差的主要因素為：空氣阻力太大及衛星磁鐵磁力不均。改進方案為: 製作真空(低壓) 實驗櫃及改變衛星磁鐵形態。其實驗構想及實驗設備設計概念如下。

1.空氣阻力的克服：為了減少空氣阻力，我們利用木心板作實驗櫃(示意圖如圖六)，再用塑膠布密封，實驗時先抽出內部空氣，以降低壓力並減少空氣阻力。分項說明如下：

(1)低壓實驗櫃本體(參考圖六) 

側邊三面及上下二面皆由木板釘成，正面則為壓克力板，以方便觀察。低壓箱外用塑膠布及矽膠緊緊封密封，使木箱內部為密閉空間。壓克力面板上設有抽氣孔、操作桿、操作孔及備用操作孔與備用抽氣孔，均以矽膠密封。

(2)三腳座

此為一下面有三個高度調整腳的木板，低壓箱放置在上面，便可微量調整低壓箱的斜度，以使衛星磁鐵mn吊掛點位於主星磁鐵正上方。

(3)水銀壓力計

此為以塑膠管自製、一端封閉的水銀壓力計，密封在實驗櫃內，以量取實驗櫃內壓力。

2.衛星磁鐵徑方向磁力不均的改善

重新製作衛星磁鐵mn 。製作時，多做一些扇形磁鐵，從中挑選磁場強度較強且近似者，並按其正、負誤差交互放置，以利改善。而磁鐵外半徑ro縮小是為了使之更接近質點；高度h加長則可增加磁力。

圖六　低壓實驗櫃及面板配置示意圖

五、研究結果

(一)磁力量測結果：(數據略)

1.衛星磁鐵ma與主星磁鐵M之磁力-距離關係：

ma、ms 及mr之8片扇形磁鐵均相同，此8片扇形磁鐵的磁場強度介於 4 →4.39千-高斯之間;與其平均值的誤差範圍為 -3.38% →6.04%。衛星磁鐵 ma 與主星磁鐵M之磁力-距離關係分別以線性坐標及對數坐標表示如下列圖七。

圖七　ma-M 磁力-距離關係圖

2.衛星磁鐵mn 與主星磁鐵M之磁力-距離關係

衛星磁鐵 mn 的8片扇形磁鐵是由17片中選出的，此17片扇形磁鐵的磁場強度分佈在3.52→3.89 千-高斯之間，誤差範圍 -5.77%→4.20% 。選出其中場強較強且均勻的8片，故其磁場強分佈在3.81→3.89 千-高斯之間，誤差範圍減少為 -1.11% → 0.97% ，顯然已獲良好改善。再將選出的8片按負、正交互配置，如此構成的mn其與M之磁力-距離關係如圖八。

圖八　mn-M 磁力-距離關係圖

(二) 磁力運動實驗結果

1.以ma做作磁力運動實驗

使用衛星磁鐵 ma 所作運動實驗軌跡如圖ma-1，分列一至四圈的軌跡圖如圖 ma-2，然後再以橢圓來近似各圈軌跡，如圖ma-3及圖ma-4。

圖ma-1　ma全程軌跡圖

圖ma-2　 ma一至四圈軌跡圖

(1)橢圓形軌道

以 -x 軸為基準截取各圈軌跡，並選取橢圓與所截取的各圈軌跡來作近似如圖ma-3及圖ma-4。

圖ma-3　ma一至四圈軌跡近似橢圓

圖ma-4　ma一至四圈近似橢圓分析圖

(2)單位時間掃過的面積

由圖ma-2各圈遠距點（即右上角長軸端點）附近沿軌跡線每0.1秒（錄影3格）選一點，直到 -x軸附近。每一圈軌跡取11點，計有10個間格，分如圖ma-5 的1 - 4圖。軌跡線上的各點為ma運動時的位置，座標原點即為主星磁鐵M的位置。以ma-5-1為例將軌跡上的各點分別與原點連線，形成10個三角形，如圖ma-5-5。每個三角形的面積即為ma於該位置在0.1秒所掃過的面積。圖ma-5各圈取樣點與坐標原點均構成10個三角形，每個三角形的面積即為 ma 在該圈、該位置於0.1秒所掃過的面積。各圈各三角形的面積(略，請參見作品說明書p.16)。各圈0.1秒所掃過面積的平均值依序為:8.186、7.853 、7.813及7.393 平方公分。

圖ma-5　單位時間掃過面積取樣圖

(3)軸長與週期的關係

ma的軌跡係以每秒30片拍攝錄影，從ma軌跡錄影光牒讀取圖ma-3各圈軌跡格數而算出ma各圈繞行時間T分別為：2.033秒、2.000秒、2.067秒及2.100秒。再由圖ma-3（或圖ma-4）量出各圈近似橢圓形的軸長R，分別為：7.73cm，7.55cm，7.445cm及7.21cm。再計算出各圈R**3/T**2的值依序為:111.72   107.81   96.61   84.99 。

2.以ms作磁力運動實驗(參見作品說明書pp.17-19)

(1)ms橢圓形軌道

ms的形態為：a、仍用ma的8片扇形磁鐵；b、但按磁場強度正負誤差交叉放置；c、將ma的鋁質外框換成鐵質外框。按照相同的程序及步驟以ms作運動實驗，其全程軌跡、近似橢圓及分析圖分別如下列各圖：

(2)單位時間掃過面積(數據如作品說明書p.18表八)

由圖 ms-3左上角長軸頂點附近沿軌跡線每 0.1秒取一軌跡點 ，直到正x軸附近為止。將各點分別與坐標原點連線，所形成的三角形如圖ms-5所示。依序算出每一三角形的面積，既為每0.1秒掃過的面積(平方公分/0.1秒)，依序如下：

7.60  7.64  7.73  7.52  7.11  6.74  6.99  7.10  6.05 7.02  6.84  6.50  6.69  6.70  6.69

圖ms-5　單位時間掃過面積

(三)雙星運動實驗結果

以mr及mn在實驗櫃中執行雙星運動實驗，兩星同步軌跡及mn、mr各別軌跡分別如下列圖md、圖md-1及圖md-2 。

選取mn 及mr兩星軌跡與座標軸(附近)交點之座標，聯同同步編號如說明書p.21 表九，各點位置如下列圖md-3所示，其中各合成中心位置變化及其與原點距離分別如下列圖md-4及md-5所示。

圖md-3　mn、mr同步通過座標軸對應圖

(四)磁力運動實驗結果（空氣－低壓對照）